Sorgulamalar: 3. Gerçek Matematik ve Okul Matematiği

Yazı dizimizin üçüncü kısmında Gerçek Matematik ve Okul Matematiği üzerine konuşacağız.

Bir soru ile başlayalım.

Yukarıda gördüğünüz iki resimde de doğrular tek noktada kesişiyorlar. İlk resimdeki doğruların kesim noktasına 1 no’lu nokta; ikinci resimdeki doğruların kesim noktasına 2 no’lu nokta diyelim. Sorumuz 1 no’lu nokta ile iki no’lu noktayı kıyaslamak üzerine kurulu. Acaba hangi nokta daha büyük? Hangisi daha küçük? Ya da aynı mı? Önce bir düşünüp kendi kendinize yanıt vermeye çalışın.

Bu soru matematik eğitimcisi Efraim Fischbein [1]’ın belirli yaş grubundaki öğrencilere sorduğu bir soru. Genelde de öğrencilerin verdiği yanıt, 1 no’lu noktanın daha büyük bir nokta olduğuna yönelikmiş. Çünkü o noktayı kesen doğru sayısı diğerinden fazla; ilkinde 4 doğrunun oluşturduğu nokta var, ikincisinde ise yalnızca 2 doğrunun. Doğal olarak 4 doğrunun kesiştiği nokta 2 doğrunun kesiştiği noktadan daha büyük olmalıdır, sezgilerimiz böyle diyor değil mi?

Okul Matematiği Ne Diyor?

Bu örneği özellikle okul matematiğini yansıtmak için kullandım. Çünkü okul matematiğinde sezgilerimize ters şeyler öğrenmeyiz ki yukarıdaki araştırmanın sonucu da bunu söylüyor. Okul matematiğinde nokta kalemin kağıda bıraktığı izdir. O kalemin ucu ne kadar sivriyse o kadar ince bir nokta çizeriz, ne kadar kalınsa o kadar kalın bir nokta olur. Hatta karalaya karalaya daireye benzer kocaman bir nokta bile çizebiliriz. Kim karışabilir ki bize? Okulda öğrendiğimiz nokta bu olduğu için okul matematiğinde “nokta”nın büyük/küçük ya da kalın/ince gibi ayrımlara maruz kalması gayet doğaldır.

Gerçek Matematik Ne Diyor?

Gelelim gerçek matematiğe. Büyüklük ya da küçüklük bir nesnenin boyutu ile ilgilidir. Örneğin çocukların boylarını (aslında matematiksel anlamda yükseklik) kıyaslayarak onlara daha uzun ya da daha kısa deriz. Boyut da işte nesneleri bu boy, en ya da yükseklik kavramlarını kullanarak konumlandırmamızı sağlıyor. Biz üç boyutlu bir uzayda yaşadığımız için de nesneleri hep 3 boyutlu algılarız. Ama matematikte 2 boyut da vardır, tek boyut da, 4 ve daha fazla boyut; hatta daha da ilginci nesnelerin boyutsuzluğu (sıfır boyut) bile söz konusudur. Nokta da matematikte BOYUTSUZdur, evet evet yanlış duymadınız BOYUTU yoktur. Hatırlarsanız okul matematiğinde bunu da söylerler: noktanın eni boyu ya da yüksekliği yoktur derler, ama bizim için kağıtta bırakılan iz, boyutsuzluğa göre daha anlamlıdır, o yüzden bunu es geçeriz. Peh, ne demek boyu eni yüksekliği yokmuş, baksana iz işte!

Noktanın neden boyutsuz olduğu konusu ise daha da kafa karıştırıcıdır. Onu anlaşılır bir dilde anlatabilmek için az biraz daha zamana ihtiyacım var. Şimdilik noktanın matematiksel açıdan boyutsuz olduğunu bilelim, bir de noktaya tanımsızlık vasfını ekleyerek sizleri daha fazla yormayayım. Hatta daha da ileri giderek doğruyu (tek boyutludur kendisi) oluşturan şeyin noktalar kümesi olduğunu da söylemeyelim. Dersiniz ki, çok çok çok çok… fazla (sonsuz demekten kaçınıyorum dikkat edin) boyutsuz şey nasıl olur da 1 boyutlu şeyi oluşturabiliyor? Haklısınız da… Şimdilik nokta boyutsuzdur, nokta!

Eeee? Gerçek Matematik ve Okul Matematiği Birbirinden Farklı mı?

Yukarıdaki soru da matematiksel açıdan şu şekilde anlamlı hale geliyor. Noktanın boyutu olmadığı için büyüklüğü ya da küçüklüğü tanımlanamaz, o yüzden iki nokta da aynıdır. İşte anlatmak istediğim konu da gerçek matematiğin okul matematiğinden bu denli ayrı olabileceği. İnsanoğlunun matematiği geliştirmesi de aynı süreçten geçtiğinden okul matematiğine bu konuda itirazımız olamaz. Çünkü matematik ilk önce sezgisel süreçlerle başlamış, sonra şu anki halini almıştır. Tabi ki çocuk noktayı öğrenirken önce sezgilerini kullanacaktır, en son noktanın boyutsuzluğu ile kafasını karıştıracaktır. Benim vurgulamak istediğim şey matematik dediğimiz şeyin okulda öğrendiklerimizden çok farklı olabileceği gerçeği. Gerçek matematiğin gerçeğine hoş geldiniz! İlerideki yazılardan birinde gerçek matematiğin öğretimine yoğunlaşacağız, böylelikle okul matematiğinde olanlar, olması ya da olmaması gerekenler hakkında fikir sahibi olabileceğiz. Ama şimdilik nokta üzerine yazıyı burada noktalıyor, sevgili Eflatun’un şu cümlesini esas alarak sizi matematik hakkındaki noktalarınızı tekrar kontrol etmeye ve yeni başlangıçlara davet ediyorum: “Her şeyin en mühim noktası başlangıçtır”.

[1] Fischbein, E. (1993). The Theory of Figural Concepts. Educational Studies in Mathematics, 24(2), 139-162.