Sorgulamalar: 4. Okul Matematiği ve Gerçek Matematikte Sayma

Bir önceki yazımda gerçek matematiğin okul matematiğinden nasıl farklılaşabileceğini gördük. Şimdi de bu iki matematik arasındaki geçişleri nasıl yapabiliriz onu konuşalım. Bunun için Okul Matematiği ve Gerçek Matematikte Sayma kavramını ele alalım.

Yazıya birazcık matematik tarihi serpiştirmem gerekiyor. Çünkü matematik, tarih boyunca nasıl gelişmişse aynı benzerlikte çocukta da gelişir.  Matematiği, doğasını ve tarihini anlayabilirsek çocuğumuzda matematiği nasıl oluşturabileceğimize yönelik fikirlerimiz de oluşacaktır.

Matematik Tarihine Kısa Bakış

Matematik dediğimiz şey tarih boyunca insanların ihtiyaçları doğrultusunda gelişmiştir. İlk insanları düşünün, hayvanları var, saymak zorundalar ama bizim şu an yaptığımız gibi 1, 2, 3 diye saymayı henüz keşfetmemişler. Siz ne yapardınız eşyalarınızı ya da hayvanlarınızı saymak için? Ben o dönem insanların yaptığı eylemi söyleyeyim: Bire bir eşleme. Yani ellerine taşlar [1] alıyorlar o taşlar ile hayvanlarını bire bir eşleyerek bir taş yığını oluşturuyorlar, böylelikle bu taş yığını kadar hayvan sahibi olduklarını biliyorlar. Hayvanının başkasınınkiler ile karışıp karışmadığını ya da eksik olup olmadığını ancak böyle anlayabiliyorlar. Bakın ne güzel matematik yapmışlar değil mi? Matematiğin (tabi bizim anladığımız matematik) M’sinden bile haberleri yok iken!

Sayma ve Okul Matematiği

İlk olarak bu durumu okul matematiği açısından ele alalım. Okul matematiğinde saymayı nasıl öğreniriz? Muhtemelen çocuk sayma ile ilk kez aile içerisinde karşılaşıyordur fakat bu işi okulda çoğunlukla anaokulu öğretmenleri öğretir. Anaokuluna gidemeyen çocuklar olduğunu da düşünelim; en geç ilkokul birinci sınıfın ilk kısmında saymanın öğretildiği varsayılır. Peki, bu öğretimde öğretmenler hangi kazanımları öğretmekle yükümlüdür?  Daha açıklayıcı olmak gerekirse, öğretmenler öğrencilerden sayma ile ilgili ne elde etmelerini beklerler? Öğretim programı sıklıkla değişse de saymadaki mantık aynıdır: İlkokulun ilk kısmında önce rakamlarla başlanır, daha sonra sayı aralığı genişletilir (iki basamaklı, üç basamaklı vs.). Çocuk bu sayıları okur, yazar, sıralar, karşılaştırır, toplar, çarpar, yuvarlar…

Genel anlamda sayma ile ilgili okul matematiğinin içeriği bu şekildedir. İşe başlarken, yani bir çocuğa sayma ile ilgili en ilkel becerileri kazandırmaya çalışırken yapılacak iş ise birebir eşlemeler yoluyla sayma yapmaktır. Kendi ebeveynliğinizden yola çıkın, çocuklarınıza sayma yaptırırken mutlaka parmaklar ile nesne grubu arasında bir eşleme kurmuşsunuzdur. Bir nesne topluluğunun, örneğin elma grubunun, her bir elemanını, yani her bir elmayı, tek bir parmağınızla eşleştirmişsinizdir. Aynen, ilk insanların çakıl taşları ile eşleme yapması gibi…

Sayma ve Gerçek Matematik

Gelelim gerçek matematiğe. Birebir eşlemeler ve bolca saymalar sonucunda sayı hissini kazandığını düşündüğümüz bir çocuk büyür ve liseye geçer. Fakat şimdiye kadar yaptığı saymaların ne anlama geldiğini hiç sormamıştır kendisine. İşte gerçek matematiğe giriş burada devreye girer. Yukarıda bahsedilen birebir eşleme artık onun için birebir ve örten fonksiyon olmuştur. O zaman biz sayma yaparken nesneler ile parmaklar arasında birebir ve örten bir fonksiyon kuruyormuşuz der (umarım). Sonra belki bu eşlemenin spesifik özelliklerini de keşfetmiştir (umarım): Her nesne ile her parmak ayrı ayrı eşlenmeli. Bir kere eşlenen bir daha eşlenemez. En son söylediğimiz sayı o gruptaki eleman sayısını verir vs. Bu özelliklerle birlikte bu birebir ve örten fonksiyonumuzun nasıl çalıştığını anlamaya başlayabilir (umarım).

Peano (1858-1932)

Dedekind (1831-1916)

Lisedeki çocuğumuz gün gelir matematikçi olmaya karar verir. Daha önceden sayma ile ilgili keşfettiği şeyler artık yetmez ona çünkü gerçek matematiğin dünyasına bir adım daha atmıştır. Artık 1’in arkasından neden 2’nin geldiğini sorgulaması istenir. Neyse ki, 1800’lü yıllarda yaşamış olan matematikçilerden Peano ve Dedekind sayıları inşa etmeye yönelik yıkılmaz bir yapı ortaya koymuştur. Bizim çocuk bu yapıyı anlamaya çalışmakla başlar işe. Bu yapıya göre, 0 diye bir elemanın varlığının garantilenmesi gerekir, özel bir fonksiyon tanımlanır ve bu fonksiyona göre sıfırın görüntüsü 1, 1’in görüntüsü 2, 2’nin görüntüsü 3 olur vs. Sizi sıkıcı kısımla boğmak istemiyorum ama bu inşânın şimdiye kadar sayılar ile yapabildiğimiz her şeyin en temeli olduğunu da vurgulamam gerekir.

Üniversitede matematik okuyan çocuk gün gelir akademik kariyer yapmaya başlarsa o zaman matematikte var olan yapıları anlamak da yetmez ona. Artık yeni şeyler üretmesi gerekir, daha önceden kimse tarafından söylenmemiş. İşte gerçek matematiğin dünyasına böylelikle girmiş olur.  Sizin de tahmin edebileceğiniz gibi sayma ile ilgili en baştan beri anlattığımız kısım olmadan da gerçek matematiğin dünyasına girmek mümkün değildir. O yüzden okul matematiği bu denli önemlidir.

Sonuç Olarak Okul Matematiği ve Gerçek Matematikte Sayma…

Bir birey çocukluktan itibaren sayma işlemini önce çevresi/ailesi, sonra okul matematiği en son da gerçek matematik (her birey için zorunlu olmasa da) yoluyla öğrenir. İlk başta sayılacak nesnelerle parmaklarını eşler, nesne sayısını isimlendirir (bir, beş gibi) bunu okur ve yazar; sayma ile ilgili türlü türlü hesaplamalar ve işlemler yapar ve üniversiteye geldiğinde bildiği şeylerin nedenleri üzerine kafa yorar. Yani, saymanın ne olduğundan başlayarak, saymanın nedenleri üzerine doğru ilerler. Bireyin bu yolculuğu matematikte ne‘den neden‘e doğru bir geçiştir. Okul matematiği bu yolculuğun ne kısmını, gerçek matematik ise neden kısmını oluşturur. Ne‘yi öğrendiğimizi bilmeden neden öğrendiğimizi bilemeyiz. Bu yüzden okul matematiği bu kadar önemlidir. Daha sonraki yazılarımda okul matematiğine biraz daha yoğunlaşacağız. O zamana kadar NE’lerden nerelere değil de  NEDEN’lere doğru iyi yolculuklar dilerim…

[1] Matematiğin en temel derslerinden biri olan Calculus’un anlamı çakıl taşıdır. Bu dersin ismi, ilk sayma işlemlerinde kullanılan çakıl taşlarına ithafen verilmiştir.