Sorgulamalar: 5. Okul ve Gerçeğin Matematiği Birbirinden Bağımsız mıdır?

Yazı dizisinin üçüncü kısmında Okul ve Gerçeğin Matematiği* ile bunların birbirinden ne kadar farklı olduğunu, dördüncü kısmında birbiriyle ne kadar ilişkili olabileceğini gördük. Bu iki durum akla doğal olarak Okul ve Gerçeğin Matematiğinin birbiriyle nasıl bir ilişkide olduğuna yönelik soruları da beraberinde getirebilir. Bu yazının amacı da akıldaki soru işaretlerini gidermeye yönelik olacaktır.

Okul Matematiği ve Gerçek Matematikte Sayma adlı yazımda Okul matematiğinden Gerçek Matematiğe geçişin nasıl olması gerektiğine yönelik bir öneri sundum. Okul matematiğinde matematiğin ne kısmının öğretilmesi gerektiğini, Gerçek Matematikte de neden kısmının irdelenmesi gerektiğini vurguladım. Bu vurguyu en ilkel matematik kavramlarından biri olan sayma kavramı ile gerçekleştirdim. Gerçek Matematik ve Okul Matematiği adlı yazımda ise Gerçek Matematiğin sezgilerimizden ve doğal olarak Okul Matematiğinden farklı yönleri olabileceğinden bahsettim. Bunu yaparken de niyetimi daha net açıklayabilmek için nokta kavramını özellikle seçtim.

Aşil ile Kaplumbağası ve Sonsuzluk

Söz konusu iki yazı aklınızda bu iki matematiğin birbiriyle olan ilişkisine yönelik bir karmaşa oluşturabilir ki, bu çok doğal bir durumdur. Aynı karmaşayı zamanında o çok ünlü matematikçiler de yaşamıştır. Bu yüzden bazı matematiksel kavramların gelişimi matematik tarihinde Bunalımlar olarak adlandırılır. Örneğin sonsuz kavramını ele alalım. Meşhur Akhilleus (Aşil) ve Kaplumbağası hikayesi vardır. Yunan filozof Zenon’un ortaya attığı bu hikayede Aşil ile Kaplumbağa yarışmaya karar verirler. Aşil daha hızlı olduğu için kaplumbağaya biraz avans verir ve daha geriden koşmaya başlar.  Aşil koşarak kaplumbağanın durduğu yere geldiğinde, kaplumbağa biraz ilerlemiş olacaktır. Aşil o mesafeyi tekrar katettiğinde, kaplumbağa biraz daha ilerlemiş olacaktır. Sonuçta Aşil her ilerlediğinde kaplumbağa da biraz mesafe katettiğinden Aşil teorik olarak kaplumbağayı hiç geçmemelidir.

Eski çağlarda bu durum bir paradoks olarak adlandırılmıştı çünkü içimizden Aşil’in kaplumbağayı mutlaka yakalayacağını biliriz. Ama Zenon’un ortaya attığı hikaye de mantıklıdır. Aşil teorik olarak kaplumbağayı geçemez. Kafalar iyice karışır tabi, aynı sizin yaşadığınız durum gibi…. Bu durumu netleştirmek için fizik bilimi de eminim çok şey söyleyecektir fakat matematikle aşmaya çalışalım [1].

Aşil’in katettiği yol sonsuz bir toplamı ifade eder. Asıl mesele bu sonsuz toplam sonlu bir sayıya mı eşittir (böylelikle Aşil kaplumbağayı yakalayabilir ise ne kadar sürede yakalar) ya da sonsuz mudur (Aşil kaplumbağayı hiç bir zaman geçemez)? Gerçek matematiği yapanlar, sonsuz toplamı anlamlandırabilmek için sonlu fikrinden yararlanmış ve sonsuz toplamların (bazen) bir sayıya eşit olabileceğini söylemişlerdir. Aşil ve kaplumbağa hikayesindeki sonsuz toplam da bir sayıya eşittir ve bu eşitlik sezgilerimizi yıkıp geçer… Bu yüzden gerçek matematik yaparken sezgileri ya da duyularımızı bir kenara atmak gerektiğini söylerler.

Sonsuz bir seri toplamı 1’e eşit!

Yani…

Matematik tarihi yine bizi kurtarıyor ve zamanında yaşanmış olan bunalımlar bizim karmaşalarımızı çözmemizde yol gösteriyor. Bazı sorunlu gibi görünen matematiksel kavramlar vardır; sonsuz gibi, nokta gibi, paralellik gibi, irrrasyonel sayılar gibi… Bu sorunlardan bazıları çeşitli yollarla netleştirilmiş (örneğin sonsuz toplam),  bazıları tanımsız terim olarak belirlenmiş (örneğin nokta), bazıları da farklı bağlamlarda açıklanmaya çalışılmıştır (örneğin paralellik). Bu bunalımları daha ayrıntılı paylaşacağım bir yazım olacak ama burada kesiyorum. Sonuç olarak matematikte sezgilerimize ters gidebilen şeyler de vardır, gitmeyen de.

Algılarımızın bizi yanıltması, Escher resmi

Diyeceğim o ki…

Okul matematiğinde duyularımıza ters bir şeyler öğrenmeyiz, öğretemeyiz de. Bu yüzden gerçek matematik ile bazen ayrışır bazen de ayrışmaz. Peki bu durum okul ve gerçeğin matematiğinin birbirinden bağımsız olduğunu mu gösterir derseniz, ben hayır derim. Ayrışmadığı yerde sorun yok ama ayrıştığı yerde de en iyi yapılabilecek iş, gerçek matematik dünyasında duyularımızı bir kenara bırakabilmek olacaktır. Bakın, matematik sorunları çözdüğü yetmezmiş gibi hayata dair ne de güzel mesajlar veriyor bize. Duyularınıza her zaman güvenmeyin….

* Yazıda Okul Matematiği ve Gerçek Matematik ifadelerinin uzunluğu nedeniyle Gerçeğin Matematiği ifadesini kullandım. Kastedilen şey Gerçek Matematiktir.

[1] Bu konu ile ilgili daha fazla matematiksel bilgi araştıranlar, Matematik Dünyası dergisini ve Ali Nesin’in yazılarını inceleyebilir.